英国植物学家Brown(1827年)在观察中发现，悬浮在液体中的花粉小颗粒的运动是非常不规则的,这种运动后来称为Brown运动.自Brown运动发现以来,这个过程在数理统计、量子力学、生物学以及经济和金融领域得到了大量研究.Einstein(1905年)应用物理原理证明了Brown运动满足的微分方程. Wiener(1918年)在他的博士论文及以后的一系列论文中得到了Brown运动精确的数学公式。
设X(l)表示一个作Brown运动的粒子在时刻l的位置. Xo为粒子在时刻to的位置,即X(to)= Xo, f(X, t| Xo)表示在给定X(to)= X。的条件下X(t十to)的条件概率密度,这也是在给定初始条件下，Brown粒子扩散运动的反映.我们再假设所给的.转移概率是平稳的,即f(X, t| Xo)不依赖于起始时刻1,因为f(X, l | Xo) 是X的密度函数,故
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f(X,t| Xo)≥0，f(X,t| Xo)dX= 1.
当间隔[ro,to+t]充分小时,由于Brown粒子的运动速度总是有限的，X(t+to)与X非常接近,即limf(X, t| Xo)=0, X≠Xo.Einstein证明了f(X, t|X,)必定满足偏分方程:
其中D是常数,称为扩散系数.选取D= 1/2,我们可以验证满足上述方程的解为
即X的条件分布正好服从均值为Xo.标准差为F的正态分布。
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